波動方程式からシュレーディンガー方程式を導出してみましょう。
シュレーディンガー方程式
ド・ブロイはすべての物質は波長λを持つ物質波として、
\(p=mv=\frac{h}{λ}\)
を導出しました。この式は、物質は波としての性能を持つことを示す重要な式になりました。
\(v^2\frac{∂^2u}{dx^2}=\frac{∂^2u}{dt^2}\)
物質の全エネルギー\(E\)は運動エネルギー\(K\)とポテンシャルエネルギー\(U(x)\)の和になります。
\(E=K+U(x)\)
ここで、ド・ブロイの式を代入すると、次のようになります。
\(E=\frac{p^2}{2m}+U(x)\)
\(ħ=\frac{h}{2π}\)として（\(ħ\)をディラック定数と呼びます）
\(\frac{∂^2ψ(x)}{∂x^2}=-\frac{p^2(2π)^2}{h^2}ψ(x)=-\frac{p^2}{ħ^2}ψ(x)\)
\((E-U(x))2m=p^2\)より
\(\frac{∂^2ψ(x)}{∂x^2}=-2m(E-U(x))\frac{1}{ħ}ψ(x)\)
のようになり、全エネルギー\(E\)について解くと（式を整理すると）
\(［-\frac{ħ}{2m}\frac{∂}{∂x^2}+U(x)］ψ(x)=Eψ(x)\)
のようになり、この式が質量\(m\)をもつ粒子の一次元のシュレーディンガー方程式となります。
シュレーディンガー方程式の意味
シュレーディンガー方程式は、演算子\(\hat{H}=-\frac{ħ}{2m}\frac{∂}{∂x^2}+U(x)\)として、以下の式で表すこともできます。
\(\hat{H}ψ(x)=Eψ(x)\)
\(ψ(x)\)は、時間に依存しない波動関数です。これは粒子の存在確立を表すものであり、従来の方程式（\(F=ma\))のように一つの値に決まりません。
このとき、\(ψ(x)\)で\(x～Δx\)の間に粒子が存在することが分かっているとき、\(ψ(x)\)の\(i\)を\(-i\)とした関数を\(ψ*(x)\)として
\(∫ψ(x)*ψ(x)dx=1\)
と表すことができます。この式の「1」は、必ず粒子一つが存在しているという意味になります。このことを規格化と言い、波動関数が物理的に意味を持つことの証明になります。
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